【正文】

用“数形结合”的方法解决函数问题

 

上海石化工业学校 陈慧慧

 

  【摘 要】 “数形结合”一直是解决数学问题的重要思想方法。对于一些复杂的函数问题，如果用代数方法解决，解题思路会比较复杂，假如首先画出函数的图像，再利用图像“数形结合”来分析问题、解决问题，就会得到事半功倍的效果。
　　【关键词】 数形结合；函数；图像

　　“数”和“形”是数学问题中的两个基本要素。对于数学中的有些函数问题，如果单纯地从“数”的方面考虑，解题思路会比较复杂，需要讨论很多种情况。假如从“形”的角度入手，通过画出函数的直观图像来分析问题，就会发现复杂的函数关系变得十分简单，解题思路也会豁然开朗。“数形结合”的思想方法一直是研究函数问题的重要方法。本文针对函数中几个常见的问题，说明“数形结合”的方法在函数中的应用。
　　一、利用数形结合，解决函数的奇偶性问题
　　我们在学习函数的时候，经常遇到判断函数的奇偶性问题。有些题目比较复杂，如果利用定义来判断函数的奇偶性，需要分多次来判断，解题过程繁琐。假设先画出函数的图像，利用“偶函数关于y轴对称，奇函数关于原点对称”来判断函数的奇偶性,问题就变得简单多了。
　　例1：判断函数y=|x|+1的奇偶性。
　　解：当x≥0时，y＝x＋1；当x＜0时，y＝－x＋1，函数的表达式为：
  y=x+1,x≥0-x+1,x＜0
　　函数的图像如图1所示，从图像中可以看出此函数为偶函数。

 

 

 

 

图1
　　总结：这是一个分段函数。先画出函数图像，再利用图像判断函数的奇偶性，解题会更加直观、简单。
　　二、利用数形结合，解决函数的单调性问题
　　有些函数的单调性问题十分复杂。如果依靠定义来判断，解题过程十分繁琐，为了使问题简单化，可以先画出函数的图像，再从图像直接判断函数的单调区间。
　　例2：设函数?蕊(x)=x2+2|x|，写出函数的单调区间。
　　解：当x＞0时，y＝x2＋2x；当x＜0时，y＝x2－2x，函数的表达式为：
  y=x2+2x,x≥0x2-2x,x＜0
　　此函数的图像如图2所示，从图像中可以看出，函数在区间［―1,0］和［1，＋∞）上单调增加，在区间（―∞，―1）和（0,1）上单调减少。

 

 

 

 

图2
　　总结：用“数形结合”的方法，先画出函数的图像，再由图像可以直接观察出函数的单调区间。
　　三、利用数形结合，解决函数的相交问题
　　一些函数求交点的问题，利用代数方法，解题过程复杂。如果先画出两个
　　函数的图像，通过图像观察两个函数的交点，问题就直接解决了。
　　例3：已知函数?蕊(x)=sinx，g(x)=lgx，问函数?蕊(x)和g(x)有几个交点？
　　解：如图3所示，函数?蕊(x)和g(x)有3个交点。

 

 

 

图3
　　总结：有些函数求交点的问题，可以首先画出函数的图像，再通过图像来判断交点的个数以及坐标等等。
　　四、利用数形结合，解决函数的最值问题
　　对于一些函数求最值的问题，利用代数方法解题，思维过程会很抽象，常常
　　使人无从入手，如果利用函数的图像，所求的问题具体化，则解题过程马上一目了然，题目的答案也呼之欲出.
　　例4：求函数y=■的最大值和最小值
　　解：本题目中的y可以看作是过点P(―3，―2)和单位圆上的切点(cosx,sinx)的切线的斜率。如图4所示，设过点P（―3，―2）到单位圆的切线的斜率为k，则切线方程为：
　          　y＋2＝k(x＋3) ，
　　整理得       kx―y＋3k―2＝0  ， 
　　又原点O（0，0）到切线的距离为1，根据点到直线的距离公式，
            ■=1
　　整理得       8k2-12k+3=0
　　得到：        k1=■,k2=■
　　所以，函数值y=■的最大值为■，最小值为■。

 

 

 

 

 

图4
　　总结：如果用代数方法做这道题，则需要经过比较复杂的运算过程。很明显，用“数形结合”的方法，计算过程就简单多了。
　　我国著名数学家华罗庚先生曾写诗赞美“数形结合”的方法：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形无数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离。”“数形结合”的方法可以有效地帮助我们分析问题，解决问题，使纷繁复杂的数学问题变得思路清晰。用“数形结合”解决的函数问题还有很多，远不止文中列出的这些。如何更好地利用“数形结合”解决数学问题，值得我们进一步地探索和思考。
　　参考文献：
　　[1]陈桂云：构造几何图形解题，《中学数学教学》 1996.2
　　[2]刘志联：构造几何模型巧解代数题《中学数学月刊》 2003.1