【正文】

高中数学分层教学案例研究

 

——《一元二次不等式的解法》

 

广西百色西林县西林民族初级中学 黄建萱

 

  【摘 要】 高中学生的数学基础往往参差不齐，实施分层教学成为必然的要求。实施分层教学可以采取的方法有：引导学生用业已掌握的旧知识来解决新问题，确保下层生能掌握基本的解题方法；用渐进的方式导入该节课所要求掌握的新知识的教学，以提高下层生，发展中层生；适度延伸和拓展教材内容，以提高中层生，发展上层生；练习或作业的安排，要注意根据不同层次学生的知识水平，在难度与数量上区别对待。
　　【关键词】 高中数学；分层教学；探索；实践

　　与其他学科的教学一样，数学教师所面对的学生往往数学基础参差不齐，他们的抽象思维能力、空间想象能力等这些学习数学所必需的智力水平也有明显的个体差异，这就要求我们在数学教学中必须尽量照顾到不同程度学生的接受能力和发展需求，在教学中有针对性地实施分层教学。在多年的高中数学教学实践中，我在如何有效地实施分层教学这一课题上进行了有益的尝试，并取得了积极的成效。下面，我以“一元二次不等式解法”的教学为例，谈一谈在高中数学教学中如何具体实施分层教学。
　　一、面向全体学生，引导学生用业已掌握的旧知识来解决新问题，确保下层生能掌握基本的解题方法
　　在“一元二次不等式解法”的教学中，我在面向全体学生的前提下，着眼于下层生，充分照顾下层生的接受能力，先引导学生用初中阶段所学的因式分解法来解一元二次不等式。具体做法是：把题目所给的一元二次不等式整理为一般形式，即ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0，然后，将左边的二次三项式进行因式分解，根据正负数乘法原则，将它化为两个一元一次不等式组，得到一元二次不等式的解。例题设计如下：
　　例1：解不等式 5-6x2≥x+3
　　整理：6x2+x-2≤0
　　因式分解：(3x+2)(2x-1) ≤0
　　           
　　一元一次方程组Ⅰ3x+2≥02x-1≤0 或Ⅱ3x+2≤02x-1≥0
　　由Ⅰ得x:-■≤x≤■
　　由Ⅱ得x:x≤-■且x≥■,是空集。
　　∴原不等式解为{x|-■≤x≤■}
　　象这样用学生（包括下层生）已经基本掌握的旧知识来解决学生所要学习的新的数学问题，是主要着眼于下层生并适合下层生的一种教学方法。虽然，学生只掌握这种解题方法还远没有达到本课既定的要求，因为我们的教学目的不是仅仅保持学生的现有数学水平，而是要把包括下层生在内的全体学生的数学水平分别提高到一个新的高度上，但这种教学方法既巩固了学生先前所学的知识，强化了新旧知识的联系，又让学生掌握了基本的解题方法，有助于克服学生对学习新知识的畏难心理。
　　二、由浅入深，用渐进的方式导入该节课所要求掌握的新知识的教学，以提高下层生，发展中层生
　　为达到提高下层生、发展中层生的目的，我在引导学生用因式分解法解题后，因势利导，将学生引入本节课所要求掌握的新知识的学习上来，重点讲授用二次函数图象解答一元二次不等式的解法。
　　用二次函数图象解一元二次不等式的基本方法是:设a＞0，x1、x2是方程ax2+bχ+c=0的两实根，且x1＜x2，一元二次不等式的解集如下表所示：

 

 

 

 

 

　　引导学生用这种方法解题，有助于推动学生实现由初中知识向高中知识的过渡，提高了下层生的解题能力。当然，这种教法主要面向中层生，意图在于帮助他们熟练掌握从多个角度解题的方法。例题设计如下：
　　例2：解不等式2χ2-3χ-2＞0
　　解：因为＞0，方程2χ2-3χ-2=0的解是x1=-■，x2=2
　　∴不等式的解集是{x|x1＜-■，或x2＞2}
　　例3：解不等式-3χ2+6χ＞2
　　解：整理得　3χ2-6χ+2＜0
　　因为＞0，方程3χ2-6χ+2=0的解是
  x1=1-■，x2=1+■
　　∴不等式的解集是{x|1-■＜x＜1+■}

 

 

 

 

 

 

 

　　接着，由χ的解集来求ax2+bχ+c≤0（或≥0）中a、b的值。这种教法由正向思维转向逆向思维，又提高了中层生。
　　例4：不等式aχ2+bχ+2＞0的解集是(-■,■),则a+b的值是
       。
　　解：依题意，-■,■是方程ax2+bχ+2=0的两根，
　　∴-■+■=-■,    -■×■=■
　　∴a=-12,b=-2, a+b=-14

 

 

 

　　象这样循序渐进，由浅入深，知识层次分明的教法，能使学生既牢固地掌握了一元二次不等式的解法，又加深了对函数概念的理解，并弄清楚了二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的内在联系，学会了利用二次函数图象快速求一元二次不等式的解的方法。
　　三、梯级提升知识难度，适度延伸和拓展教材内容，以提高中层生，发展上层生
　　为了满足上层生发展知识的需求，让他们“吃得饱”，同时也使中层生达到提高的目的，我在本节课后半段的教学中有意识地提高了知识的难度，适度地对知识作了必要的延伸和拓展，从宽度、深度上丰富和深化学生的数学知识。其做法是：
　　1．引导学生灵活解题——一道题有多种解题思路，其中总会有较简单的方法。
　　例5：解不等式-3χ2+2χ-2＞0
　　解法一：图象分析法
　　作二次函数y＝-3χ2+2χ-2的图象，如图,由图象可知，χ不论为何值，y一定小于0，本题无解。

 

 

 

 

　　解法二：配方法
　　-3χ2+2χ-2＞03(χ2-■x+■)<0
　　3[(χ-■)2+■]<0
　　本题无解。
　　2．引导学生探索含参数不等式的解法——解一些含参数不等式，需要就各种情况进行分类讨论。
　　例6：解关于χ的不等式aχ2-2aχ+a-3≤0
　　解：原不等式可化为：a(χ-1)2≤3
　　①当a≤0时，χ∈Ｒ；
　　②当a＞0时，a(χ-1)2<■
　　∴|x-1|<■
　　∴-■<x-1<■
　　∴1-■<x<■+1
　　∴原不等式解集是当a≤0时，χ∈Ｒ；当a＞0时，为{x|1-■<x<■+1}
　　例7：已知关于χ的不等式(a2-4)χ2+(a+2)χ-1≥0的解集是?准,则实数a的取值范围是     。
　　【点拨】分二次项系数a2-4=0和a2-4≠0两种情况讨论，在a2-4≠0时，结合二次函数的图象进行。
　　解:当a2-4=0时, a=2.当a=-2时解集是?准;当a=2时χ≥■,解集不?准.
　　当a2-4≠0时，要使解集为?准，
　　则有a2-4＜0△=(a+2)2+4(a2-4)＜0，∴-2＜a＜2-2＜a＜■ 
　　解得 -2＜a＜■
　　综上所述，-2≤a＜■
　　采用上述做法，有利于增强学生解题的灵活性，使学生学会研讨性解题、分类讨论、数形结合解题，达到拓宽学生的解题思路，提高解题技巧，培养创造性思维能力的目的。
　　四、课堂练习和课外作业的安排，要注意根据不同层次学生的知识水平，在难度与数量上区别对待
　　分层教学不应仅仅体现在教师单边的教学行为上，在学生的课堂练习和课外作业的布置这一环上，也应充分得到体现。要根据不同层次学生的知识水平及其所能承受的程度，在难度、数量上区别对待，分开布置，使学生能保质保量地完成作业并达到巩固、提高的目的。
　　在“一元二次不等式解法”这一课，我对课堂练习作了如下安排：
　　1、下层生练习：
　　①解不等式3χ2-7χ+2＜0　
　　②解不等式-6χ2-χ+2≤0
　　③若不等式aχ2+bχ-2＞0的解集是{x|-2＜x＜-■｝，则a、b的值分别是（     ）
　　A.a=-8，b=-10    B.a=-1,b=9
  C.a=-4,b=-9   D.a=-1，b=2
　　2、中层生练习：
　　① 解不等式4χ2-3χ-1＞0　
　　②解不等式χ（χ-1）＜χ（2χ-3）+2
　　③已知不等式aχ2+bχ+2＞0的解为-■＜x＜■，则2χ2+bχ+a＜0的解是（     ）
　　A.-3＜x＜2     B.-2＜x＜3
  C.x＜-3 或χ＞2  D.x＜-2或χ＞3
　　3、上层生练习：
　　①解关于χ的不等式：χ2-aχ-2a2＜0　
　　②求当a＜0时，不等式42χ2+aχ-a2＜0的解集.
　　③不等式(a-2)χ2+2(a-2)χ-4＜0,对一切χ∈Ｒ恒成立，则a的取值范围是（     ）
　　A.(-,2]        B.(-2,2]
  C.(-2,2)      D.(-,2)
　　该课的课外作业，我也像上述课堂练习一样分别设计并分开布置。
　　需要指出的是，与其让程度低的学生勉为其难地去做难度超过其知识水平的习题，造成他们视做作业如畏途，倒不如将他们的作业另予布置，适当降低难度，让他们能较好地完成作业并从中体验成功的愉悦，提高他们学习数学的积极性。
　　上述分层教学方法的实施，无疑符合大家所熟知的因材施教教学原则的要求。这种从不同学生的实际出发的做法，使学生都能够“跳一跳就把果子摘下来”，激发了学生学习数学的兴趣，调动了学生的学习积极性，能使不同层次的学生在原有的知识基础上进行有效的学习，并逐步达到“大纲”规定的要求。多年的实践也证明，上述做法增强了学生分析问题和解决问题的能力，培养了学生的创造性思维，有效地提高了高中数学教学的质量。
　　参考文献:
　　[1]《全日制高级中学教科书数学第一册》（上）、人民教育出版社
　　[2]《分层递进 提高学生素质》 胡善通 上海教育2000年第7期
　　[3]《实施分层教学 提高复习质量》 林昭雄 中小学数学1999年第4期
　　[4].《依据素质教育特点，实施素质教育》 马玉琪 江苏教育研究1991年第 2期