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浅议小学数学教学渗透一般性数学方法的思考

 

贵州省威宁县炉山镇燕山小学 顾背群

 

 

  数学方法是用数学语言表达事物的状态、关系和过程，经过推导、运算与分析，以形成解释、判断和预言的方法。而一般性数学方法作为数学方法的一种表现形式，与分类讨论法、数学归纳法等特殊性数学方法相比，它更适用于普遍性、基础性和一般性的数学应用领域，与小学生数学认知生活化、主体化、个性化的特点相符合，因此，我们在小学数学教学中应注重一般性数学方法的教学渗透，为学生有效地获得数学知识、建构数学认知、形成数学思想奠定基础。一般性数学方法的常见类型有合情推理、数学抽象、数学化归、数学模型、数形结合等。
　　一、合情推理——数学发现的基本方法
　　合情推理是根据已有事实和正确的结论、实验和实践的结果以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程。在解决问题的过程中，合情推理可为猜测、探索提供思路。
　　1.采用归纳法进行合情推理
　　归纳法是从个别事实概括出一般原理的推理方法。例如，在教学《圆的面积》时，教师首先呈现以下图形供学生观察后，设问：请根据圆与大、小正方形位置和大小的关系，猜想圆面积的计算公式。
　　生1：圆的面积介于小正方形和大正方形之间。
　　生2：圆的面积介于2r2和4r2之间。
　　生3：估计是3r2左右。
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　　获解原问题的方法。
　　2.通过特殊值法实现化归
　　“特殊值法”，就是求解一个一般数学问题遇到困难时，先考虑这个问题的一种特殊情况，找出一种简单情形进行解决，利用特例的结论再来求解一般问题。
　　例如：甲比乙多　，乙比甲少几分之几？
　　一般解：根据条件乙为1，甲为1+　；先求乙是甲的几分之几，1÷(1+　)=　；再求乙比甲少几分之几，即1-　=　。条件和问题中单位“1”发生变化，相应甲乙所对应的数值也随之变化，学生解答时往往会产生混淆，容易出现计算错误。
　　化归解：根据条件，先假设甲为8，乙为7；再求乙比甲少几分之几，（8-7）÷8。用特殊值法解，在始终把握基本数量关系的前提下，使得复杂的数据换算得以简单化。
　　3.通过语义转换实现化归
　　一个数学符号式子的最初意义或常用意义容易被固化，而在问题解决中，式子意义解释的寻求和提取因环境而异，不同的问题环境会激活不同的意义解释，不同的意义理解会造成问题解决的不同思路和不同难度。
　　二、数学模型——数学应用的基本方法
　　数学模型方法就是对所研究的问题构造出相应的数学模型，通过对数学模型的研究来解决原型问题的方法。从广义的观点看，数学概念、性质、法则、公式都是数学模型；从狭义的观点看，解决小学数学中具体的数学问题，特别是解答应用题，都需要构建数学模型来解决。
　　如数学活动课上，师生一起探讨“在正方形四周植树”的问题，学生活动后，组织交流。
　　生1：每个顶点栽一棵，一共需要4×4-4=12棵。
　　生2：顶点上的树属于其中的一条边，这样每条边上的树只有3棵，再用3×4=12棵。
　　生3：先算每条边中间植树的棵数，2×4=8棵；再加上顶点位置的4棵，也是12棵。
　　生4：把顶点上的4棵树分别属于正方形上下两条边，这样左右两条边只有2棵，列式为4×2+2×2=12棵。
　　师：方法不同，列式不同，但殊途同归，至少要栽12棵。在解决问题的过程中，你觉得关键要注意什么？
　　生：就是顶点上的棵数不能多算，只能算一次，即：每条边上树的棵数×边数-顶点的个数。
　　师：如果在正三角形、正五边形、正六边形草坪四周植树，每边都要植4棵，每块草坪分别需要多少棵呢？小组选择一个问题进行研究。
　　在以上教学过程中，教师先让学生独立思考，提出个性化的解决问题的策略，从多个角度、多种途径进行解释，理解在正方形四周植树的计算方法。然后教师引导学生比较求同，找出在众多表面上形态各异的思维策略背后蕴藏的共同的具有更高概括意义的数学思想方法，进而体会到解决问题的一般数学模型：“每条边上树的棵数×边数-顶点的个数”。在这种思想方法的指引下，学生掌握了多边形各边植树的计算方法。
　　三、数形结合——数学理解的基本方法
　　数形结合是指将数（或量）与形（或图）结合起来分析、研究、解决问题的一种思维策略，即根据问题的需要，把数量关系的问题转化为图形的性质和特征来研究，或者把图形的性质问题转化为数量关系的问题来研究，从而利用数形的辩证法和各自的优势，得到解决问题的方法。
　　如在数小棒、搭多边形中认识整数，在等分图形中认识分数、小数，利用交集图理解公因数与公倍数等等。借助“形”的操作形成数学规则，让学生明确规则的合理性、理解其推导过程的意义，不仅仅在于理解算理，更重要的在于学会学习，实现过程性目标；而数形结合能降低思维难度，让学生有信心和能力归纳出法则。