关注数学美，构建高职数学学习新模式

  【摘 要】 依据高职学生的实际情况以及高职教育目的和要求，阐述了以数学美为主线，教学过程中突出数学美感教育，对数学学习模式作了有益的探索。
　　【关键词】 数学美；高职；学习模式

　　（一）引言：
　　自古以来，人类社会的发展与数学科学的发展有着密不可分的关系，从远古时候的记数开始，人们以贝壳、石头、木片的多少，以绳子打结的方式进行算术记数，利用算盘，计算器、计算机工具的帮助，从简单的数字加减记数，发展到引入变量、函数、方程，以建立数学模型的方式解决实际应用问题。从简单的记数、到发射卫星、控制宇宙飞船，人类社会的每一次进步，无不体现在数学科学的发展之中，也改变着一代又一代人的思维模式。学习好数学这门课程、了解数学的特点、掌握好数学的相关知识，无疑是显得非常重要。
　　(二)高职学生的学习基本情况：
　　高等教育的发展规模增长非常显著，进入了大众化教育阶段，其中较为明显的是“以就业为导向”为目标的高职院校的蓬勃发展。以2011年为例，高校招生人数为675万，而高职招生达到了326万人，为社会的需要提供了大量的高技能人才储备。
　　因为各种客观的原因，能够进入到各个高职院校学习的学生成绩普遍不高（2012年部分高职院校录取分数线划到150分），生源情况不是很好。 高职学生大多来自偏远山区，平常的教学资源匮乏，缺乏实验，接受数学训练的机会不多，学生的逻辑思维能力有待提高。有的因为家庭教育的方法不当，溺爱，使学生养成了追求享受、物质要求高，偏激，缺乏耐心和意志等心理障碍，不愿意思考问题，厌学、逃避问题也成为一种普遍现象。而有的学生在面对数学问题时，常常感到无从下手，不知道怎样表达，表述问题时常常会显得理由不充分，常常会用想当然的判断来代替严密的逻辑推理，对数学这一门学科的学习常常感到无兴趣，学习动力不足。
　　作为数学教师在面对高职学生的教学中，更应该从实际出发，有计划、有目的地改进教学模式，让学生感受到数学内在的美，体会到数学学习并不是枯燥无味，而是与美同行，积极参与到数学学习的过程中来，去获得美的享受，积极接受逻辑思维的基本训练，形成积极思考问题，不怕困难，耐心细致处理问题的良好习惯，为今后专业课程的进一步学习打下一个坚实的基础。
　　（三）数学与美密切联系：
　　美是什么？柏拉图认为美是理式；亚里士多德认为美是形式；黑格尔觉得美是理念的感性显现；海格德尔则说：“美存在，但不可言说。”尽管他们各自提出了自己对于美的本质的看法，但都显得有些单薄，不足以说明美的真正本质。其实美就是主观与客观的统一，美就是一切能够让人们感到舒适、快乐、惊奇的事物对象。美既是永恒的，又是可变的；既是稳定的，又是流动的，两者是对立的统一。
　　所以，一块精巧的蛋糕是美，一首好听的歌是美，一句亲切的问候是美，一幅迷人的图片是美，两条对称的曲线是美，一个能解决实际问题的完整的过程也是美，一个能反映规律性的一个数学式子也是美……
　　数学是对现实世界数与形简洁的、高效的、优美的描述，是有其内部抽象和外部有效性的一门学科。数学科学是知识和思想方法的有机统一，是美的体现，数学之美伴随整个数学体系，数学中有美，美中有数学的精彩展现，数学与美密不可分。
　　（四）寻找数学中美的因子、要素、及其表现：
　　数学体系中存在众多美的因子，数学之美理应成为学生必须认识的、清楚的、掌握的基本要素，充分认识到数学美的表现，熟悉数学重要的特点，把握准确学习方法，良好的思考习惯才会形成，才能更好的去发现“美”和享受“美”的结果。
　　4.1数学中的对称美:
　　事物对象表现出的对称性，往往能给人以美观、清晰、欢愉、美好的享受，这即是对称美。数学中不乏典型的对称美，在数字、平面、空间、概念、运算规律等等方面上比比皆是。
　　（1）数字的对称性：数轴上与0等距离的两个数之间的对称关系，如5与-5。
　　（2）平面的对称：中垂线把等腰三角形分成对称的两个三角形，过圆心的直线把圆分成大小相等的两个半圆，对角线把正方形、菱形也分成大小一样的图形。
　　（3）空间的对称：过直径的平面把球体体分成对称的半球，过正方体的轴线的平面也分正方体为大小一致的几何体，过空间几何体的重心能将几何体平衡支撑。
　　（4）函数与反函数建立了概念上的对称关系，图形也关于直线y=x对称。
　　（5）对称的、美的图形揭示三角函数的同角之间的关系。
　　（6）微分学中的有限与无限、无穷小与无穷大、连续与间断、凹与凸，成对出现。
　　（7）微分与积分运算的关系体现了对称性。
　　（8）连续型随机变量ζ的密度函数满足 ,( x∈R)；ζ服从标准正态分布，并且 =1, 结果简单、符合实际（全概率为1），图像标准、对称，极具说服力。
　　（9）笛卡尔几何学是数学领域的成功范例，使得代数方程与几何图形之间建立了一种对称，也使代数与几何融为一体，达到了完美统一。
　　4.2数学中的曲线美：
　　图像是数学中函数的直观表现，二次函数的图像是抛物线，包含着数学内在的特性（单调递增、单调递减），同时曲线的平滑、合理走向、弯曲、圆润无不体现出画面的美感。
　　如三角函数中正弦函数、余弦函数、正切函数、抛物线y=x2的图像，曲线平滑、弯曲自然、曲线凹凸圆润，体现出关于y轴左右对称、原点对称，绵延不尽，周而复始，轮回自然的理念。
　　4.3数学中的节奏美：
　　具有规律性的节奏能表现出事物存在的合理性及其科学性，能让人感受到轻松、欢愉，是美的感受。生活中人们能感受到心脏规律强劲的跳动，给人以健康的信心和无穷的动力，数学中同样也有众多节奏美的表现：
　　等差数列（1）1、4、7、10、13、16、19、22……；（2）2、6、10、14、18、22、26……；
　　正弦函数值sinx=sin(2kπ+x) , (K∈Z) ；三角函数中正切函数、余切函数的图像。
　　这些每隔某固定数值差量所出现的数字，每隔固定周期π重复出现的单调特性，同样体现出数学中的节奏美，犹如让人手握打开秘密宝藏的钥匙，信心百倍探寻未知世界。
　　4.4数学中的逻辑美：
　　事物的变化凡事都有其规律，认识事物的过程，犹如上楼梯一样，因为有1，才会有2，有了3，才会有4……；表现出人类认识事物上的逻辑性。数学中证明题目的完成过程，无不体现出这重要的数学逻辑美。
　　例如：函数f(x)满足
　　（1）在闭区间 [a,b]上连续
　　（2）在开区间（a，b）上可导
　　(3) 两端点值的符号f(a)、f(b）异号
　　则在（a，b）上至少存在一个点ξ，使得f(ξ)=0；体现出数学循序渐进，又及其完整，不留漏空的严密的逻辑性。
　　4.5数学中的简洁美：
　　事物对象在变化的过程中，最终获得简单的、简洁的、确定的结论，体现着人们探寻研究的最终结果，有着及其重要的现实意义，并应用于人类生活的各个方面，简单即是美，并且是美的最高境界。数学学科中也存在着众多的重要的结论，被人们加以利用于生活之中。
　　例如：
　　（1）利用微分的方法可以求出数值的近似值：
　　（2）导数 的值表示函数y=f（x）在点M（x0，f(x0)）处的切线的斜率。
　　（3）导数在经济领域上有着重要应用：
　　研究经济变量的边际分析法，可对边际成本、边际收入、边际利润进行研究，获得其最大利润值，最佳的产品数量值，以及最小成本值。从而更好地指导生产，获取最大利益。
　　简单的就是方便的，也是最容易接受的，以最小的投入，获取最大的利益，体现出数学美的最高境界。
　　（五）数学学习新模式：
　　所谓数学学习新模式，即是指以在课堂教学中注意发现数学美的因子（对称美、曲线美、节奏美、逻辑美、简洁美），并以数学美为主线，模块化组织教学内容，课堂教学注意突出数学美感教育的学习方式。经常采用该模式教学，能使学生更好的体会到数学之美，愉快地投入到数学学习中去，教学效果得以保证。
　　数学科学中有许多重要的结论来自于实际生活，并不断应用于实际之中。有许多的概念却又不太容易理解，对纯数学的一些要点（算式与逻辑问题），认知的过程常常会感到抽象、枯燥和无味，数学学习的过程变得非常艰难，往往容易让学生半途放弃，无功而返。这一点对多数高职高专院校的学生来说，表现更为明显。能否寻找到一个好的办法来帮助学生，让学生能够较快的适应数学的学习，成为数学教师经常思考的一个重要问题。
　　通过对高等数学内容的分析，依据高职学生的实际情况以及高职教育的目的和要求，采取以数学美为主线，模块化组织教学内容，教学过程突出美感教育的数学学习模式，将不失为一个好的办法。
　　（1）课程：课程名称更改为《应用数学》，传统高等数学的内容选择以及顺序已经不在适合高职教育的要求，而改为《应用数学》则能更好的体现高职教育注重实际、与现实接轨的理念。
　　（2）教学内容处理：按照高职教育的“必需、够用”的原则，整合内容为以下六个模块：
　　即以“生物体征变化程度及最优化问题处理”、“实际面积、体积问题计算”、“实验数据整理”、“实验数据分析”、“级数的应用”、“矩阵的应用”等六个模块，涵盖“微积分”、“线性代数”、“数理统计”的基本内容，其内容与顺序按照数学美的要素合理组织，体现出数学固有的简洁、对称、逻辑、节奏等特征，既完整又突出美感。
　　例如以“生物体征变化程度及最优化问题处理”、“实际面积、体积问题计算”两个模块就分别以如下方式处理：
　　（a）极限概念→极限运算→函数增量→生物体征变化程度（导数）→误差计算（微分）
　　→单调性→极值→最值判定（最优化处理）。
　　(b)不定积分→原函数→求原函数方法1（换元法）→求原函数方法2（分部积分法）
　　→定积分→求定积分方法（牛顿-莱布尼茨公式）→曲边梯形面积→旋转体体积。
　　这两模块的内容处理上，以必需的基本单元，通过合理的有序的组织，完成了“最优化问题”，以及“面积与体积问题的计算” 的处理，并且舍去了一些纯理论的、复杂的、应用性不明显的内容。如：分别舍去了微分中值定理，直接利用牛顿-莱布尼茨公式求出定积分，既跳过繁琐的各种换元求定积分的内容，又使得看起来不相干的“不定积分”与“定积分”两个概念，通过“牛顿-莱布尼茨公式”而联系更加紧密，使得内容主线简洁、明了，充满美感，易于接受。
　　（3）教学过程处理：
　　（a）课堂教学上突出美感教育：在每个内容模块中，对每个基本单元，依据数学美的特征，分别采取由浅入深、强化对称，注重节奏、照顾逻辑的方式表述、讨论及展现，强化模块单元内容所具有的美的表现，充分让学生体会数学内容美的因子，以达到教学过程简洁完美的效果。
　　(b) 突出课堂行为唯美理念：从课堂上的内容导入开始，以数学美要素为标准，关注每一次的过程实施效果是否完美。如：预习是否做好，回答问题是否完美简洁，各个内容之间是否有对称性的表现，所作的曲线走向是否准确、圆润，思考问题是否注意到逻辑要素，实训练习中获取的结论是否能有现实指导意义等等，力求做到让美的主线贯穿课堂。
　　（c）教学互动中突出美的成功体验：在学生的每一次作业、解答问题、实训练习等实施过程中，尽量去发现其中存在的完美表现，并及时加以肯定，让学生能时常感受到，自己也能做好，美就在身边，并能体会到成功的乐趣。这必将能极大地调动学生数学学习的积极性，能让学生更有信心、愉快地参与到学习中来。对高职学生来说，这一点显得更为重要。
　　（六）结束语：
　　在高职数学教学的过程中，如果能注意到数学美的表现，并且能以数学美为主线，贯穿于整个教学过程中，能让学生体会到数学学习的有趣，就会主动改变自身的不好习惯，积极参与到数学学习的过程中来，教学效果必然有较大改观，高职数学教育的目的就可达到。
　　参考文献：
　　[1] 江莪茜.论美与数学.重庆大学学报（社会科学版）（J）.2001（7）
　　[2] 陈水林，黄为祥.高等数学[M] .湖北科学技术出版社 2007.5