例谈高中数学排列组合习题的整合教学

贵州省福泉市第四中学 杨华杉

  【摘 要】 排列组合是高中数学的重要内容，新课标中概率与统计的增加更突出了排列组合的重要性，历来是高中数学教学的一个难点，其思考方法独特，求解思路灵活，因而在解题中极易出现“重复”或“遗漏”的错误。虽然近几年高考将侧重点放在两个计数原理的考查上，但当对问题类型把握准确时，在解答的准确性上将会有很大的提升，解答速度也会大大提高。本文结合教学实践探讨数学排列组合试题的解题技巧。
　　【关键词】 高中数学；排列组合；解题技巧；探究与反思

　　排列组合作为高中代数课本的一个独立分支，极具抽象性而成为“教”与“学”难点，有相当一部分题目教者很难用比较清晰简洁的语言讲给学生听，有的即使教者觉得讲清楚了，但是由于学生的认知水平、思维能力在一定程度上受到限制，还不太适应这种极具抽象的运算方法。笔者认为之所以学生“怕”学排列组合，主要还是因为排列组合的抽象性，那么解决问题的关键就是将抽象问题具体化，我们不妨将原题进行一下转换，让学生走进题目当中，成为“演员”，成为解决问题的决策者。为此，笔者就教学过程中的三个难点通过特例作进一步的说明：?
　　一、占位子问题
　　例1：将编号为1、2、3、4、5的5个小球放进编号为1、2、3、4、5的5个盒子中，要求只有两个小球与其所在的盒子编号相同，问有多少种不同的方法。
　　1、仔细审题。在转换题目之前先让学生仔细审题，从特殊字眼小球和盒子都已“编号”着手，清楚这是一个“排列问题”，然后对题目进行等价转换。
　　2、转换题目。在审题的基础上，为了激发学生兴趣，使其进入角色，我将题目转换为：让学号为1、2、3、4、5的学生坐到编号为1、2、3、4、5的五张凳子上（凳子已准备好放在讲台前），要求只有两个学生与其所坐的凳子编号相同，问有多少种不同的坐法。
　　3、解决问题。这时我再选另一名学生来安排这5位学生坐位子（学生争着上台，积极性已经得到了极大的提高），班上其他同学也都积极思考（充分发挥了学生的主体地位和主观能动性），努力地“出谋划策”，不到两分钟的时间，同学们有了统一的看法：先选定符合题目特殊条件“两个学生与其所坐的凳子编号相同”的两位同学，有C种方法，让他们坐到与自己编号相同的凳子上，然后剩下的三位同学不坐编号相同的凳子有2种排法，最后根据乘法原理得到结果为2×C=20（种）。这样原题也就得到了解决。
　　4、学生小结。接着我让学生之间互相讨论，根据自己的分析方法对这一类问题提出一个好的解决方案（课堂气氛又一次活跃起来）。
　　五是老师总结。对于这一类占位子问题，关键是抓住题目中的特殊条件，先从特殊对象或者特殊位子入手，再考虑一般对象，从而最终解决问题。
　　二、分组问题
　　例2：从1、3、5、7、9和2、4、6、8两组数中分别选出3个和2个数组成五位数，问这样的五位数有几个？
　　（本题我是先让学生计算，有很多同学得出的结论是P×P）
　　1、仔细审题。先由学生审题，明确组成五位数是一个排列问题，但是由于这五个数来自两个不同的组，因此是一个“分组排列问题”，然后对题目进行等价转换。
　　2、转换题目。在学生充分审题后，我让学生自己对题目进行等价转换，同学A将题目转换如下：从班级的第一组（12人）和第二组（10人）中分别选3位和2位同学分别去参加苏州市举办的语文、数学、英语、物理、化学竞赛，问有多少种不同的选法。
　　3、解决问题。我让同学A来提出选人的方案，同学A说：“先从第一组的12个人中选出3人参加其中的3科竞赛，有P×P种选法；再从第二组的10人中选出2人参加其中2科竞赛有P×P种选法；最后由乘法原理得出结论为（P×P）×（P×P）（种）。”（这时同学B表示反对）?
　　同学B说：“如果第一组的3个人先选了3门科目，那么第二组的2人就没有选择的余地。所以第二步应该是P×P。”（同学们都表示同意，但是同学C说太麻烦）
　　同学C说：“可以先分别从两组中把5个人选出来，然后将这5个人在5门学科中排列，他列出的计算式是C×C×P（种）。”（再次通过互相讨论，都表示赞赏）
　　这样原题的解答结果就“浮现”出来C×C×P（种）。
　　4、老师总结。针对这样的“分组排列”题，我们多采用“先选后排”的方法：先将需要排列的对象选定，再对它们进行排列。
　　三、多排问题
　　把元素排成几排的问题，可看成一排考虑，再分段处理。
　　例3：7个人排成前后两排，前排3人，后排4人。
　　分析：分两步来完成，先选三人排在前排有，余下的4人放在后排有A44种，所以共有种A33×A44=5040；分析：A77=5040，所以对于分排列等价全排列。
　　总之，排列组合解题分析过程，旨在通过这种方法的尝试（教学效果比较明显），进一步活跃课堂气氛，更全面地调动学生的学习积极性，发挥教师的主导作用和学生的主体作用，让学生在互相讨论的过程中学会自己分析，转换问题，解决问题。
　　参考文献：
　　[1]张小霞.高中数学排列组合推理的教学思考[J].数学教学通讯，2015（07）.
　　[2]林森.高中数学排列组合的教学策略探微[J].数学学习与研究，2016（01）.