用不定方程解初中数学中实际问题

贵州省黔南州三都水族自治县鹏城希望学校 韦晴云

　　在初中数学中不定方程的解，往往不止一个，但在实际问题中有时却能够解出他们的有限个解。只不过这类问题的解法有些特殊，如何让学生掌握这些问题的解法，成了数学老师们的一个难题，现将我在教学中所遇到的问题归纳如下，希望对同学们起到抛砖引玉，触类旁通的作用。同时能够得到同仁们的正是我的最大心愿。
　　1、为了奖励数学兴趣小组，班主任张老师花92元钱购买了《智力大挑战》和《数学趣题》两种书，已知《智力大挑战》每本18元，《数学趣题》每本8元，则《数学趣题》可以购买多少本？
　　解：设可以购买《数学趣题》x本，《智力大挑战》y本，
　　据题意可得：
　　8x+18y=92
　　方程组化简得到：4x+9y=46
　　用含Y的式子去表示x：x=
　　在题目中隐含有x、y。
　　所以，有
　　解之，
　　由于x、y均为正整数，所以y可取1、2、3、4；
　　当y=l、3、4时，x均为分数，所以y只能取2，
　　即y=2，此时，=7。
　　即可以购买《数学趣题》7本，智力大挑战》2本。
　　答：可以购买《数学趣题》7本。
　　2、某班级为准备元旦联欢晚会，准备购买价格分别为2元、4元和10元的三种奖品，每件奖品至少购买1件，共买16件，恰好用去50元，若2元的奖品购买a件。
　　(1)用含a的代数式表示另外两种奖品的件数；
　　(2)请你设计购买方案，并说明理由。
　　解：(l)设购买价格为4元的奖品x件，购买价格为10元的奖品y件，据题意可得：
　　(2) xl0- (1)得
　　8a+6x=ll0
　　化简整理得到：
　　3x=55-4a
　　即
　　(2) x4- (1)得
　　2a-6y=14
　　化简整理得到：
　　3y=a-7
　　即
　　(2)由(1)可得，因为x、y均为大于等于1的正整数，所以有
　　解(1)得到
　　解(2)得到
　　所以不等式组的解集为：
　　所以满足条件的a的值可取10、11、12、13。
　　然而，当a=ll、12时，x、y均是分数。所以a只能取
　　10、13
　　即：1、当a=10时，
　　所以a=10；x=5；y=l
　　2、当a=13时，
　　所以a=13；x=l；y=2
　　所以购买方案有二种，
　　即方案一：购买2元的10件、4元的5件；
　　方案二：10元1件和2元的13件、4元1件和10元的2件。
　　3、（古代数学问题）百钱买百鸡----100元钱买公鸡、母鸡、小鸡共100只，公鸡每只5元，母鸡每只3元，小鸡1元钱3只。应怎样买，并说明理由。
　　解：设公鸡买x只，母鸡买y只，小鸡买( 100-x-y)只，据题意可得：
　　化简整理得到：
　　根据题目意思可知x、y均为正整数，即。
　　所以有
　　解之
　　即x可以取1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、
　　13。
　　然而当x=l、2、3、5、6、7、9、10、11、13时y均为分数，所以x只能取4、8、12。
　　当x=4时，y=18，lOO-x-y=78
　　当x=8时，y=ll，100-x-y=81
　　当x=12时，y=4，100-x-y=84
　　即有三种购买方案
　　方案一：公鸡买4只，母鸡买18只，小鸡买78只；
　　方案二：公鸡买8只，母鸡买11只，小鸡买81只；
　　方案三：公鸡买12只，母鸡买4只，小鸡买84只。
　　4、某宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团20人准备同时租用这三种客房共7间，如果每个房间都住满，请设计租住方案。
　　解：设租住二人间x间、三人间y间、四人间(7-x-y)间，据题意可得：
　　2x+3y+4(7-x-y)=20
　　化简整理得到：2x+y=8
　　即y=8-2x
　　在这个问题中，x、y均为大于等于1的整数，且7-x-y≥1，所以8-2x≥l
　　解之x≤
　　即x的取值范围为1≤x≤
　　所以x可以取1、2、3。
　　当x=l时，y=8-2x=8-2=6，7-x-y=7- 1-6=0（不符合题意，应舍去）；
　　当x=2时，y=8-2x=8-4=4,7-x-y=7-2-4=1;
　　当x=3时，y=8-2x=8-6=2, 7-x-y=7-3-2=2;
　　所以租房方案有二种：
　　方案一：租住二人间2间、三人间4间、四人间1间
　　方案二：租住二人间3间、三人间2间、四人间2间
　　综合以上四个问题，他们的共同点是：
　　一、都是不定方程；
　　二、最终的结果都要用到不等式才能解出；
　　三、各个未知数的最小值都是1。
　　四、都是实际问题。