浅析y=■(c≠0)型函数的图象和性质

湖北省十堰市第二中学 仵俊亚 丁秋月

  高考中经常考查一些较复杂的函数的性质，有一类是由一些基本函数四则运算产生的，例如函数y=■(c≠0)．而函数的性质决定函数的图象，函数的图象反映函数的性质，所以我们只要掌握函数y=■(c≠0)的图象即可．
　　函数y=■(c≠0)，变形得
　　令x+■=t，则x=t-■，
  y=■=■+■
　　=■+■
　　令■=k，■=m,■=n,则
  y=■+n
　　一、当bc=ad时，函数y=■(c≠0)的图象为直线y=■（除去一点(-■,■)）．
　　二、当bc≠ad时，函数y=■(c≠0)的图象是由反比例函数函数y=■通过平移变换而来，所以函数y=■(c≠0)的图象是等轴双曲线．
















　　此时函数的渐近线方程为y=■、x=-■，对称中心为(-■,■)，对称轴为直线y-■=±(x+■)，离心率为■．
　　(1)当bc＞ad时，双曲线焦点在直线y=x+■上，图象如图，根据图象可以看出此函数的函数性质，如定义域、值域、单调性等．
　　(2)当bc＜ad时，双曲线焦点在直线y=-x+■上，图象如图，根据图象可以看出此函数的函数性质，如定义域、值域、单调性等．
　　总之，函数y=■(c≠0)的图象表示渐近线方程为y=■、x=■，对称中心为(-■,■)，对称轴为直线y-■=±(x+■)，离心率为■的等轴双曲线或者退化成一条直线y=■（除去一点(-■,■)）．
　　也可以用求导的办法研究函数y=■(c≠0)的性质，画出它的图象．
　　函数y=■(c≠0)的图象和性质





















　　例1、研究函数y=■的性质.比如定义域、值域、单调性、它的反函数等，并作出它的函数图象.
　　解：定义域(-∞,-■)∪(-■,+∞)
　　值域(-∞,-■)∪(-■,+∞)
　　单调性y=-■+■函数在区间(-∞,-■)∪(-■,+∞)上都为减函数
　　反函数f-1(x)=■(x∈R,x≠-■)
　　函数图象（如图）是双曲线.是由反比例函数y=■=■的图象向左平移■个单位,向下平移■个单位得到的.









　　例2、设P1(■,■),P2(-■,-■),M是双曲线y=■上位于第一象限的点，给出下列3个命题：
　　①|MP2|-|MP1|=2■；②以线段MP1为直径的圆与圆x2+y2=1相切；③存在常数b，使M到直线y=-x+b的距离等于■|MP1|。其中正确的是             （把你认为所有正确的序号都填上）。
　　分析：由等轴双曲线的性质可得，答案①②③．
　　例3、函数y=■在区间(-2,+∞)上为增函数，那么实数a的取值范围为（　　   ）
　　（A）0＜a＜■     （B）a＜-1或a＞■
  (C)a＞■       (D)a＞-2
　　解：由bc＜ad得，a＞■，选择(C)．也可以求导，y'=■＞0．
　　例4、已知an=■(n∈N+)，则在数列{an}的前30项中最大项和最小项分别为
　　（A）a1,a30   (B)a1,a9    (C)a10,a9    (D)a10,a30
　　解：作出函数y=■的图象，利用函数与数列的关系可知答案选(C)．
　　练习：
　　1、已知f(x)=■，且f-1(x-1)的图象的对称中心为（0，3），则a的值为（B）
　　（A）■   （B）2    (C)■   (D)3
　　2、函数f(x)=■的图象在点(-,f(1))处的切线方程为x+2y+5=0。
　　（1）求函数y=f(x)解析式；
　　（2）求函数y=f(x)单调区间。
　　答案：f(x)=■,(-∞,3-2■)↓,(3+2■,+∞)↓,(3-2■,3+2■)↑