浅谈线面垂直的判定与应用

贵州省普安县第一中学 贺 超

  立体几何中线面垂直关系的证明一直是高考的热点与难点，往往我们在证明时遇到不少问题，难点是在于要通过线线关系或面面关系去推导线面关系，但就是找不到正确的直线或平面.下面笔者通过一些例题，借助定义的利用来得到线线垂直，从而为线面垂直的判定找到突破口.
　　如图所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.
　　(1)求证：MN⊥CD.
　　(2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.
　　分析：欲证MN⊥CD，这是异面直线的证明，需要通过线面垂直来找突破口.















　　证明：(1) 如上图所示，取PD的中点E，连结AE，EN，
　　∵PA⊥平面ABCD，
　　∴PA⊥AB.
　　又AD⊥AB，∴AB⊥平面PAD.
　　∴AB⊥AE，即AB⊥MN.
　　又CD∥AB，∴MN⊥CD.
　　(2)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD.
　　又∠PDA＝45°，E为PD的中点.
　　∴AE⊥PD，即MN⊥PD.又MN⊥CD，
　　∴MN⊥平面PCD.
　　点评：证明线面垂直，常常先证线线垂直，而证线线垂直，通常又是借助线面垂直完成的.
　　例2如图，已知四边形ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直SC的平面分别交SB、SC、SD分别于点E、F、G，求证：AE⊥SB，AG⊥SD.
　　分析：由欲证线线垂直AE⊥SB，联想通过线面垂直AE⊥平面SBC，这需寻求AE垂直面SBC的两条相交直线，如此不断的联想，即可使结论得证.
　　证明：∵SA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴SA⊥BC，
　　又BC⊥AB，∴BC⊥平面SAB，又AE?平面SAB，∴BC⊥AE，
　　又SC⊥平面AEFG，AE?平面AEFG，∴SC⊥AE，
　　∴AE⊥平面SBC，∴AE⊥SB.
　　同理可证：AG⊥SD.








　　点评：本例首先通过线面垂直(SA⊥面ABCD)，利用定义得到线线垂直(SA⊥BC)，再利用判定定理得到线面垂直(BC⊥面SAB)，又利用定义得到线线垂直(BC⊥AE)，同时从另一角度可推得SC⊥AE，再利用定理得到线面垂直(AE⊥面AEFG)，再次利用定义得到线线垂直(AE⊥SB)，体现了“线线”与“线面”垂直的循环互动转化.
　　例3如图所示，已知点S是平面ABC外一点，
　　∠ABC=90°，SA⊥平面ABC，点A在直线SB和SC上的
　　射影分别为点E、F，求证：EF⊥SC.
　　分析：用分析法寻找解决问题的途径，假设
　　EF⊥SC成立，结合AF⊥SC可推证SC⊥平面AEF，这样SC⊥AE，结合AE⊥SB，可推证AE⊥平面SBC，因此证明AE⊥平面SBC是解决本题的关键环节.由题设SA⊥平面ABC，∠ABC=90°，可以推证BC⊥AE，结合AE⊥SB完成AE⊥平面SBC的证明.
　　证明：∵SA⊥平面ABC ∴SA⊥BC
　　又∵∠ABC=90°∴AB⊥BC,SA∩AB=A ∴BC⊥平面SAB
　　∴BC⊥AE  又∵点A在直线SB和SC上的射影分别为点E、F
　　∴SB⊥AE  ∴AE⊥平面SBC
　　∴SC⊥AE  又∵SC⊥AF,  AF∩AE=A
　　∴SC⊥平面AEF 
　　∴EF⊥SC








　　点评：本例证明也是利用线面垂直的定义找到线线垂直的，不过需要搭建一座桥梁，达到线线垂直与线面垂直的相互转化.题设中条件多，图形复杂，结合题设理清图形中基本元素之间的位置关系是解决问题的关键.
　　例4已知空间四边形ABCD的边AC=BC，AD=BD，引BE⊥CD，E为垂足，作AH⊥BE于H，求证：AH⊥平面BCD.
　　分析：要证AH⊥平面BCD，只需证明AH垂直平面BCD内两条相交直线即可.现已知AH⊥BE，只需再证平面内与BE相交的一条直线与AH垂直，即转化为证线线垂直.
　　证明：如图，取AB的中点F，连结CF、DF、AE，
　　∵AC=BC，∴CF⊥AB，
　　又∵AD=BD，∴DF⊥AB，∴AB⊥平面CDF，
　　又CD     平面CDF，∴CD⊥AB，
　　又CD⊥BE，∴CD⊥平面ABE，∴CD⊥AH，
　　又AH⊥BE，∴AH⊥平面BCD.








　　点评：本例证明也是利用线面垂直的定义与判定定理由一个垂直关系联想下一个垂直关系，这样一环紧扣一环，一系列的垂直关系便相继产生，达到线线垂直与线面垂直的相互转化，这些垂直关系转化便是证明的全过程.
　　由此可见线面垂直的定义与判定定理可以进行线面垂直与线线垂直的相互转化，这种线面问题与线线问题的互相转化是立体几何中的一种重要的思想方法.