浅析微元思想在高中物理教学中的渗透

江苏省靖江高级中学 刘灿荣

  在物理学科中，许多物理变量的计算问题，在大学里可以使用积分来进行计算，但在高中阶段由于数学能力的局限，很难用高等数学知识来加以解决。我们一般是将研究对象（物体或物理过程）进行无限细分，从其中选取某一微小单元进行讨论，从而找出被研究对象的变化规律，这种分析问题的方法，称为微元法。在普通高中新课程的教材中已经逐步渗透了微元的思想，譬如在人教版物理教材必修1中，定义速度v=■时提出：“如果△t非常非常小，可以认为■表示的是物体在时刻t的瞬时速度”，在选修教材3—5动量一章中还提出了牛顿定律的动量表述F=■，就是利用了微元的思想。其它如在定义瞬时加速度、电流强度、感应电动势等物理量时，也都是采用了这种思维方法。在最近几年的高考中也加强了对学生运用用微元思想来建构物理模型，处理实际问题能力的考查。
　　运用微元法，研究不同的问题，处理方法并不一样。一般说来有两类，一类是微分极限，另一类是微分累积，分别对应于高等数学中的导数和积分。但不管是那一种类型，都是在变量问题中选取一极小的段，在这一段内将变量看成是恒量。将曲线运动看成直线运动，将变速运动看成匀速运动，将变力当成恒力等来处理。下面通过几个例题来加以阐述。
　　例一：向心加速度的推导
　　在以前的教材中，研究匀速圆周运动的向心力都是通过实验来实现的，现行课本则开始渗透微元的思想方法。
　　如图所示，虚线为物体做匀速圆周运动的一段轨迹，取圆周运动过程中的一段很小的时间△t，则物体与圆心的连线扫过很小的夹角△θ，这样速度矢量也偏离了△θ，根据几何知识可知△OPQ与表示速度的三角形相似，则■=■。










　　由于△θ很小，所以可以认为弧长等于弦长，因此有■=■。
　　根据a=■=■=ωv=■
　　在这里，“弧长等于弦长”、“a=■”都是在△t→0时才成立的微元条件。
　　例二：一个质量为m、直径为d、电阻为R的金属圆环，在范围足够大的磁场中竖直下落，金属圆环在下落过程中的环面始终保持水平，磁场的分布情况如图2所示(磁场关于线圈的轴线对称)。已知磁感强度竖直方向分量By的大小只随高度y变化，其变化关系为By=B0 (1+ky)(此处k为比例常数，且k>0)，已知金属圆环在下落过程中速度越来越大，最终稳定为某一数值，称为收尾速度。求：圆环收尾速度的大小。








　　分析：本题金属圆环中产生的是动生电动势，但由于圆环切割的水平磁场磁感应强度未知，只能采用法拉第电磁感应定律来进行研究。
　　圆环下落高度为y时的磁通量 
　　设收尾速度为vm，根据法拉第电磁感应定律有


　　圆环中感应电流的电功率为
　　重力做功的功率为
　　在金属圆环达到最大速度时，根据能的转化和和守恒定律有
                   ，解得：
　　在本题的分析中，虽然引入了时间的微分量△t，但在运算过程中被消去，实际上就是考虑了磁通量的变化率，或者说是磁通量对时间的导数。
　　以上两题就是典型的微分极限思路，即在运算中引入微元模型，但在利用极限关系或运算中的比值可使微量转化或消去，结果中并不出现微元量。
　　例三：如图3所示，电量Q均匀分布在半径为R的圆环上，求在圆环轴线上距圆心O点为x处的P点的电场强度。






　　分析：由于带电圆环不能看做点电荷，因此我们可以考虑把圆环分成很多电荷元，每个电荷元△q就可以被看成点电荷。根据对称性，在圆环上相对的两个电荷元在垂直于x轴方向的场强分量互相抵消，故电场方向沿轴方向，所以只需分析每个电荷元产生的电场在x轴方向的分量。
　　则电荷元△q在P点的分场强为 


　　即△Ex与△q成正比，对于整个圆环


　　由于不能使用积分公式，所以我们只能通过寻找两个变量对应成正比的关系，从而进行累加来得出结果。
　　例四：如图4所示，间距为L的水平光滑平行导轨上放有质量为m的金属杆，导轨的一端连接电阻R，其他电阻不计，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面向下。现给金属杆一个水平向右的初速度v0 ，设导轨足够长，试求金属杆在导轨上向右移动的最大距离是多少？
　　分析：金属杆在运动过程中的受力分析如图5所示，这是一个典型的在变力作用下求位移的问题。









　　设金属杆在减速过程中的某一时刻速度为v ，取一极短时间△t，在△t时间内，
　　根据牛顿定律：
                       　　，可得：

　　即：                                  ，△v与△x成正比。

　　对全过程求和：                                    ，得

　　最终解得                         。 




　　例三和例四都是微分累积的思路。通过计算在微量条件下的变量关系，然后推广到全过程，从而实现物理量的累加。
　　下面我们来看2008年江苏高考卷的一道题，这道题将微分累加的思路运用到了极致。
　　例五：如图6所示，间距为的两条足够长的平行金属导轨与水平面的夹角为，导轨光滑且电阻忽略不计。场强为B的条形匀强磁场方向与导轨平面垂直向下，磁场区域的宽度为d1，间距为d2，两根质量均为m、有效电阻均匀为R的导体棒a和b放在导轨上，并与导轨垂直。（设重力加速度为g）
　　若a进入第2个磁场区域时，b恰好离开第1个磁场区域；此后a离开第2个磁场区域时，b又恰好进入第2个磁场区域。且a、b在任意一个磁场区域或无磁场区域的运动时间均相等，求a穿出第k个磁场区域时的速率v。















　　分析：要能实现a、b在任意一个磁场区域或无磁场区域的运动时间均相等，必须保证进入任一磁场具有相同的速度。设导体棒刚进入无磁场区域时的速度为v1，刚离开无磁场区域时的速度为v2。
　　在无磁场区域：v2-v1=gtsinθ，且平均速度■=■；
　　在有磁场区域：棒a受到合力F=mgsinθ-BIL，其中I=■，E=Blv。
　　解得F=mgsinθ-■，可知棒受到的合力随着速度而改变。
　　在极短的时间△t内，根据牛顿定律，a=■，得■=(gsinθ-■)，变形为：
                                                                ，即：
　　对在磁场区域内的全过程求和： 
　　得：
　　综合以上方程解得
　　本题实际已经应用了偏微分方程的知识了。而在2009年的高考中，同样类型的试题再次在江苏高考卷上出现了：
　　例六：如图7所示，两平行的光滑金属导轨安装在一光滑绝缘斜面上，导轨间距为l、足够长且电阻忽略不计，导轨平面的倾角为，条形匀强磁场的宽度为d，磁感应强度大小为B、方向与导轨平面垂直。长度为2d的绝缘杆将导体棒和正方形的单匝线框连接在一起组成“                ”型装置，总质量为m，置于导轨上。导体棒中通以大小恒为I的电流（由外接恒流源产生，图中未图出）。线框的边长为d（d < l），电阻为R，下边与磁场区域上边界重合。将装置由静止释放，导体棒恰好运动到磁场区域下边界处返回，导体棒在整个运动过程中始终与导轨垂直。重力加速度为g。
　　求：（1）装置从释放到开始返回的过程中，线框中产生的焦耳热Q；
　　（2）线框第一次穿越磁场区域所需的时间t1；
　　（3）经过足够长时间后，线框上边与磁场区域下边界的最大距离xm。
　　分析：我们仅讨论第（2）问。设线框刚离开磁场下边界时的速度为，则接着向下运动2d 













　　由动能定理：
　　装置在磁场中运动时收到的合力：
F'，为线框受到的安培力。


　　由牛顿第二定律，在t到t+△t时间内，有                       ，又回到了例五的求解思路。



　　有


　　解得：
命题者确实对此类问题比较钟情。
　　综上所述，微元法是我们分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。在教学中逐步渗透微元思想可以提高学生的逻辑思维和辩证思维能力，运用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。