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节点文献

二次不等式中的套路与反套路

 

【作者】 王冰权

【机构】 浙江省绍兴市柯桥区钱清中学

【摘要】

【关键词】
【正文】

含参数的一元二次不等式的解法常常涉及到参数的讨论问题,如何选择讨论标准是学生不易掌握的地方。实际上,只要把握好下面的三个套路,一切便迎刃而解了。

套路一:二次项系数是否为零、正数或负数,目的是讨论不等式是否为二次不等式及讨论二次函数图象的开口方向;

套路二:判别式是否为正数、零或负数,目的是讨论二次方程解的个数问题;

套路三:两根差的正负,目的是比较根的大小。

【示例1】解下列不等式:

1

[分析]该小题在三个“讨套路”中,只需按“套路一”讨论就行,即对二次项系数是否为零、正数或负数进行分类讨论。

[解答]

       ②

       ③

2

[分析]该小题在三个“套路”中,只需按“套路二”讨论就行,即对判别式是否为正数、零或负数进行分类讨论。

     

 

(3)         

[分析]该小题在三个“套路”中,只需按“套路三”讨论就行,即对相应的二次方程的两根大小进行分类讨论。

以上三个小题展现了含参一元二次不等式问题讨论的三种最基础类型,即讨论二次项系数,讨论判别式,讨论两根大小。熟练掌握这三种分类讨论标准,其它同类问题都只是它们的一些变式或拓展。比如,下面的这个示例,就是这个基础分类的拓展。

【示例2】解关于的不等式:

[分析] 通过因式分解得相应方程有两解,因此该题无需讨论判别式,但仍需要有的讨论点是二次项系数及两根大小。

[解答]1 

2、

①当

(ⅰ)当

(ⅱ)

(ⅲ)

当一个问题中需要两个及以上的分类标准时,就必须按顺序对每个分类标准分类。一般地,这三个分类标准的顺序依次为:先讨论二次项系数,然后讨论判别式,最后讨论两根大小。

有些题目表面看不是含参一元二次不等式问题,但经过转化与化归后其实质仍是含参一元二次不等式问题。比如,下面的这个示例。

【示例3】已知函数f(x)axeq \f(b,x)c(a0)的图象在点(1f(1))处的切线方程为yx1.

(1)用a表示出bc

(2)若f(x)≥ln x[1,+∞)上恒成立,求a的取值范围.

[解答] (1)解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(ba1,c12a.))

(2)由(1)知,f(x)axeq \f(a1,x)12a.

g(x)f(x)ln x

axeq \f(a1,x)12aln xx∈[1,+∞)

g(1)0

g′(x)=aeq \f(a1,x2)eq \f(1,x)

eq \f(ax2xa1,x2)

①当0aeq \f(1,2)时,eq \f(1a,a)1.

1xeq \f(1a,a),则g′(x)0g(x)是减函数,所以g(x)g(1)0,即f(x)ln x.故f(x)≥ln x[1,+∞)上不恒成立.

②当aeq \f(1,2)时,eq \f(1a,a)≤1.

x1,则g′(x)0g(x)是增函数,所以g(x)g(1)0,即f(x)ln x,故当x≥1时,f(x)≥ln x.

综上所述,所求a的取值范围为

    对不确定的根的大小关系不加区分,整体表现为不能有序地进行分类讨论,对于分类讨论的题目没有结论,这都是造成失分的原因,切记!

2010年全国高考辽宁卷理科第21题第1小题:已知函数6ec8aac122bd4f6e讨论函数6ec8aac122bd4f6e的单调性。

[解答]

     我们反思这道高考题的解答过程,虽然其表面是含有参数的对数函数问题,但化简之后实质仍然是含有参数的一元二次不等式问题。因此本文所述的分类标准也能完全适用。

总之,“套路与反套路”,“猜题与反猜题”是命题专家与带领学生复习应考的教师以及考生之间的一种微妙的一场场“游戏”,它能不断提升自己的思维品质,仅仅就功利性而言,在我国的高考选拔制度下,在学生的应试策略的方法论中,这样对某一类问题归纳总结,优化思想的方法特别重要。就要求考生必须洞察数学问题、方法、思想的来龙去脉,即设法发现数学问题的本质。唯有如此,才能在高考中立于不败之地。如果学生的这些思维品质真正提升到了某种层次,那么高考数学就不是一座大山,而只是一条平坦的道路,轻轻松松就能解决它。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  • 【发布时间】2019/2/20 9:59:40
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