——《等比数列的概念及通项公式》教学谈    

  【摘 要】 中职数学教学，应该恰当地运用数学方法，比如类比思想、归纳思想、分类思想、方程思想等等，并以此引领学生学得有滋有味，一次次推开课堂之窗，一次次欣赏到更美的风景。中职数学教师应该引领学生挺进在这样的风景中渐行渐深。
　　【关键词】 情境创设，类比思想，探究延伸

　　听过很多中职《等比数列的概念及通项公式》的公开课，发现老师们都是通过“等差数列”进行新课引入，然后再从现实情境中抽象出若干“等比数列”的正例加以佐证。总体来说，教学比较顺畅，能够按照预定的轨道平稳向前推进。的确，从等差数列引入，然后通过类比思想过渡到等比数列，这样的“由此及彼”，本就是数学学习的必然规律。问题的关键是：学生是否真正体会到类比思想在数列学习中的运用，是否真正厘清从特殊到一般的认识问题的方法？尤其是，学生是否真正掌握到从不同角度解决问题的有效策略呢？最重要的是，这种通过“等差数列、等比数列”进行类比的思想或方法，是仅仅运用在本课的学习当中，还是已经在更高的层面上有了新的结构性把握与跨越性提升？
　　如何避免过于直白的新概念的出场，如何避免新旧概念的割裂状态，如何真正地以生为本，以学为中心，“等比数列”的学习还可以有怎样的新可能、新想象和新空间……这些都可以成为教师执教此课的重要思路或重要视点之一。
　　一、情境创设不可或缺
　　尽管之前，学生已经学习了等差数列，但《等比数列》对于中职学生而言仍然是一个新的内容，需要新颖的引入方式。对于数学学习本就兴趣不大的中职学生而言，单项灌注和机械传输只能令孩子们昏昏欲睡，只有创设浓浓的情境氛围，打造以“情境、参与、体验”为基本特征的智慧课堂，学生的思维才能得到多方面地锻造、滋养和提升。就像泰戈尔所说的：“不是槌的打击，而是水的载歌载舞，使鹅卵石臻于完美。”为使教育的目标这枚鹅卵石更完美，教育需要水一样的“载歌载舞”。]中职数学教学亦然。
　　故事引导：在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求．西萨说：请给我在棋盘的64个方格上，第1个格子里放1粒小麦，第2个格子里放2粒，第3个格子里放4粒 ，每一个格子的麦粒数都是前一个格子麦粒数的2倍，如此下去，一直到第64个格子，请给我这些小麦？同学们，你们知道西萨要的是多少小麦吗？引导学生写出麦粒总数，以此引出等比数列。西萨的第二个要求需要大约9.22×1018粒小麦，要数好9.22×1018粒小麦，比第一个要求更加苛刻，显然国王兑现不了他的承诺。事实上，让西萨自己去数他要的麦粒，所需时间竟然约需1753亿年。
　　这样的情境引入，活泼泼地聚焦了学生的兴趣、热情和注意力，学生不禁思考：这样的“翻倍”竟然如此厉害，当国王知道他的一句慷慨之言，成了他欠宰相西萨·班·达依尔的一笔永远也无法还清的债时，国王该多么的尴尬，而这一切，其实很简单，就像王太子所说的：“陛下，这个问题很简单啊，就像1+1=2一样容易，您怎么会被它难倒？”既然国王不能被“难倒”，做为新世纪的中职学生也不能被“难倒”，于是孩子们想探问题究竟的兴趣和勇气大增，课堂向着更深的更美的风景向前挺进。
　　二、类比思想不可或缺
　　对于中职学生而言，已经在高一阶段学习了有关函数的内容，并且对函数的结构和方法有了初步的体验，在此基础上，又学习了等差数列的概念、表示、性质以及通项公式和前n项和。可以肯定地说，绝大数学生完整经历了特殊数列研究的一般过程，有从特殊到一般、具体到抽象的思维经历。此时，面对等比数列的学习，学生完全通过类比思想，经历反思、联想的过程，探索等比数列概念的形成，建立等比数列的概念结构。实践证明，引领学生举一反三，类比深化，不但能够较好地理解等比数列的各个概念，而且能让知识和方法长久地保留在孩子们的记忆库中。
　　1.回顾等差数列项与项之间的关系，你还能想到哪些特殊数列，试举几个例子，在小组内互相交流。（比如：（1）1，2，4，8，16，……（2）1，3，9，27，81，……等等）在此基础上，随着学生的回答，逐渐引出“等和数列”、“等积数列”和“等比数列”。（“你还能想到哪些数列”旨在引发学生更多的联想和想象，通过比较和辨析，自然而然地引发出研究“等比数列”的合理性和必要性。）
　　2.试举一个等比数列的例子，比如，《庄子·天下篇》里有：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”之说，若该锤的单位长度为1，则每天所得的长度构成一个等比数列：1/2，1/4，1/8，1/16，……（“举出一个好例子，胜过千百次的说教”。的确，从充满哲学味道的名言中提取数学模型的思想，远胜过教师苦口婆心的说教，可以更快地激活学生原有的知识体系，从而对等比数列有了更为清晰的认识。）
　　3.引出等比数列的概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。（运用类比的思想可以发现，等比数列的定义是把等差数列的定义中的“差”换成了“比”。）
　　4.上述概念中的q可以为0吗？有没有既是等差，又是等比的数列？它的通项公式应该是怎样的？（运用类比的思想可以发现，等差数列通项公式为a_n=a1+（n-1）d，即a1与n-1个d的和，等比数列的通项公式应为an等于a1与n-1个q的乘积，即an=a1 q（n-1）。）
　　5.你如何论证上述公式的正确性。（引领学生通过多种方法证明，如证法1：同等差数列——归纳法。证法2：类比等差数列，累乘可得，即各式相乘，得an=a_1 q（n-1）。归纳特点：（1）an是关于n的函数，和等差数列类似，通项公式中有an，a1，q，n四个量，知道其中三个量可求另一个量。这叫“知三求一”可以发现，上述设计，沟通了新旧知识之间的联系，实现了有限和无限的相互转化，孩子们的类比能力、化归能力、抽象能力、概括能力得到拓展，得到提升。的确，当学生从类比中发现等差数列的要素是“作差”和“差相等”，而等比数列的要素是“作比”和“比相等”之时，其数学逻辑推理、系统思维方式等与数学思想等相关的因子一一登场，而这不正是发展学生核心数学素质而孜孜以求的理想境界吗？
　　三、探究延伸不可或缺
　　“我们实施教学时，不能止于文本，否则学生的生成空间不大，思维能力得不到有效发展。”[2]的确，任何课程都自有它的“生成点”与“延伸点”，中职数学亦然，等比数列的学习亦然。就《等比数列》的学习而言，应该设计很多看似简单却很内涵丰富的习题，实施变式教学，以此引领学生走得更远，收获得更多。
　　比如，在《等比数列》临结束时，可以设计这样的弹性作业： 引导学生分析思考如下三个问题：
　　（1）如果三个数a，G，ｂ成等比数列，则G叫作a，ｂ的等比中项，那么如何用a，ｂ表示G呢？这个式子是三个数a，G，ｂ成等比数列的什么条件？
　　（2）在直角坐标系中，画出通项公式为an=2n的数列的图像和函数y=2x-1的图像．对比一下，你发现了什么？
　　（3）如果｛an｝，｛bn｝是等差数列，它们的公差分别为p， q且p≠q，则数列｛an+bn｝还是等差数列，如果｛an｝，｛bn｝是等比数列，它们的公比分别为p，q且p≠q， 那么｛an+bn｝还是等比数列吗？
　　（4）已知数列｛an｝满足a1=2 ，an-a（n-1）=2n（n≥2），数列｛bn｝满足b1=2，bn-b（n-1）=2n （n≥2），你会求它们的通项公式吗？（提示：2+22+23+…+2n=2（2n-1））
　　这样的练习和探究，让学生回到等比数列的定义去，经历运用概念和概念变式去分析解决具体的问题，进而达到活化概念的目的。从最初的“情境设置”到后来的概念提出和证明，再到后来的拓展习题，学习空间在不断敞开，学习活动在不断深入，但其中一直渗透着类比思想。可以说，正是教师紧紧围绕着“类比思想”，才一次次推开课堂之窗，一次次欣赏到更美的风景。中职数学教师应该引领学生挺进在这样的风景中渐行渐深。
  参考文献：
　　[1]王荣.做水还是做槌[J].教师月刊，2016，（8）：14.
　　[2]祁洪生.我们需要什么样的公开课[J].教师月刊，2015，（4）：42.