【正文】  【摘 要】 本文聚焦于“双减”背景，深入探究二次函数应用问题的解题策略。详细阐述二次函数相关概念与性质后，针对面积、利润、运动轨迹等常见应用题型，提出构建函数模型、剖析图像特征以及运用数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想方法的解题策略，以助力初中学生攻克二次函数应用难关，减轻学业负担，提升数学教学成效。
　　【关键词】 双减；二次函数；解题策略；数学思想

　　一、引言
　　“双减”政策重磅落地，其核心在于为学生减负，促进学生全方位发展与健康成长。在初中数学的知识体系里，二次函数占据着举足轻重的地位，而其应用问题却常常令学生望而却步。在此背景下，如何引领学生高效领悟二次函数应用问题的解题要诀，成为初中数学教育者亟待解决的关键任务。
　　二、双减政策对数学教学的影响
　　“双减”政策要求减少作业量和课外负担，这迫使学校和教师从传统的“题海战术”和“课外补习”中解脱出来，转向更加注重课堂教学的质量和效率。这种转型对教师的教学理念、教学方法和评价体系都提出了新的要求。具体表现为：
　　（一）更新教学理念：教师应树立以学生为中心的教学理念，关注学生的全面发展，
　　而不仅仅是成绩。
　　（二）创新教学方法：采用启发式、探究式、合作式等多样化的教学方法，激发学生的学习兴趣和主动性。
　　（三）完善评价体系：建立多元化的评价体系，关注学生的综合素质和能力发展，而不仅仅是考试成绩。
　　三、二次函数的基础知识回顾
　　二次函数通常以y = ax^{2}+bx + c（a\neq0）的形式呈现，其图像为抛物线。当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，则开口朝下。对称轴公式为x =-\frac{b}{2a}，顶点坐标为（-\frac{b}{2a}，\frac{4ac - b^{2}}{4a}）。扎实掌握这些基础知识，是开启二次函数应用问题求解之门的钥匙。
　　四、二次函数应用问题的常见类型及解题策略
　　（一）面积问题
　　1.例题呈现
　　假设有一块矩形空地，长为40m，宽为30m。现计划在这块空地上修筑一个矩形花坛，四周预留宽度一致的小路。设小路宽度为x m，花坛面积为y m^{2}，试求y与x的函数关系式，并确定x取何值时花坛面积最大。
　　2.解题策略
　　首先，依据题意精准确定花坛的长与宽。花坛长可表示为（40 - 2x）m，宽为（30 - 2x）m，由此可得花坛面积y=（40 - 2x）（30-2x）=4x^{2}-140x + 1200。进一步将其化为顶点y=4（x-\frac{35}{2}）^{2}-25。鉴于a = 4>0，所以当x=\frac{35}{2}= 17.5m时，花坛面积达最大值。对于此类面积问题，核心要点在于精准捕捉图形边长与变量的内在关联，成功构建二次函数模型，再巧妙借助二次函数的性质锁定最值。
　　（二）利润问题
　　1.例题呈现
　　某商品进价为每件40元，售价为每件60元时，每周可售出300件。市场调研显示：若调整价格，每涨价1元，每周销售量便减少10件。设每件商品涨价x元，每周利润为y元，求y与x的函数关系式，并明确售价为多少时每周利润最大。
　　2.解题策略
　　依据利润的计算公式：利润 =（售价 - 进价）× 销售量。此时售价演变为（60 + x）元，销售量变为（300 - 10x）件，那么y=（60 + x - 40）（300 - 10x）=- 10x^{2}+100x + 6000=-10（x - 5）^{2}+6250。当x = 5时，即售价为60 + 5 = 65元时，每周利润登顶。解决利润问题的关键在于透彻梳理进价、售价、销售量与利润之间的错综复杂的关系，精心构建二次函数，随后深入剖析函数的最值情形。
　　（三）运动轨迹问题
　　1.例题呈现
　　在平面直角坐标系中，一小球自点A（0，5）处起始向下运动，其运动轨迹系抛物线y = ax^{2}+bx + c的部分片段，当运动至点B（2，1）时速度方向转为水平向右，求该抛物线的表达式。
　　2.解题策略
　　已知抛物线过点A（0，5）与B（2，1），将点坐标代入函数式可得\begin{cases}c = 5\\4a + 2b + c = 1\end{cases}。又因在点B处速度方向水平向右，这意味着此时抛物线的切线斜率为0。对y = ax^{2}+bx + c求导得y^\prime=2ax + b，将x = 2代入可得4a + b = 0。联立方程组求解，可得出a=-1，b = 4，c = 5，故而抛物线表达式为y=-x^{2}+4x + 5。针对运动轨迹问题，需紧密结合已知点坐标以及运动状态蕴含的数学条件，诸如切线斜率等，构建方程以求解二次函数的系数。
　　五、解题的数学思想方法运用
　　（一）数形结合思想
　　在二次函数应用问题的求解进程中，数形结合思想的地位举足轻重。例如在求解二次函数最值时，绘制函数图像能够直观呈现抛物线的开口朝向与顶点位置，从而便捷地确定最值。于运动轨迹问题里，图像有助于我们深切领悟小球运动路径与函数曲线的内在联系，更为妥善地剖析问题中的几何特质与代数关联，将抽象的函数关系具象化为直观图形，极大地削减解题难度。
　　（二）分类讨论思想
　　当二次函数应用问题存在多种情形时，分类讨论思想便大显身手。好比在面积问题中，倘若图形的形状或位置呈现多种可能性，就务必对不同情况逐一剖析。在利润问题里，若价格调整方向（涨价或降价）存在差异，函数关系亦会随之不同，此时需分类构建函数模型并求解，以此确保答案的全面性与精准性。
　　（三）函数与方程思想
　　二次函数本身即是函数与方程思想的生动诠释。解题之际，常常需依据已知条件列出方程或方程组以求解函数系数。如在运动轨迹问题中，借助将点坐标代入函数式以及利用导数与切线斜率的关系列方程求解。同时，在探寻函数零点、与坐标轴交点等问题时，也是将函数值设定为0，转化为方程求解。通过函数与方程的灵活转化，实现对实际应用问题的有效攻克。
　　六、教学建议
　　（一）情境创设
　　于课堂教学之中，教师应匠心独运地创设多元且贴合实际的二次函数应用情境，诸如建筑设计里的抛物线造型、商业活动中的利润运算等，让学生真切感知二次函数在现实生活中的广泛应用，从而有效激发学生的学习热忱与解决实际问题的内驱力。
　　（二）引导探究
　　教师要巧妙引导学生自主探索二次函数应用问题的解题策略，切不可直接和盘托出答案。以本文所举例题为例，可通过巧妙设问、组织小组讨论等形式，引领学生逐步剖析问题，精准找出变量间的关联，构建函数模型，运用数学思想方法求解，全力培育学生的数学思维能力与探究精神。
　　（三）分层作业与辅导
　　遵循“双减”政策指引，精心设计分层作业。针对基础薄弱的学生，布置简易的二次函数应用问题，如给定函数式求最值等；面向中等水平学生，安排综合性较强的面积、利润问题；为学有余力者，布置运动轨迹等拓展性难题。同时，针对学生作业中暴露的问题，实施精准辅导，力保每位学生皆能在自身基础上实现跃升。
　　七、结论
　　在“双减”的时代浪潮下，经过对二次函数应用问题的深度钻研，本文针对不同类型问题提出了行之有效的解题策略，以及数学思想方法的巧妙运用，并给出了极具针对性的教学建议。初中数学教师在教学实践中，应高度注重引导学生熟练掌握这些解题策略与思想方法，借助情境创设、引导探究、分层作业与辅导等手段，提升学生解决二次函数应用问题的能力，切实减轻学生学业负担，提高数学教学质量，助力学生在数学学习的漫漫征途中稳健前行，收获更多成长与进步。
　　参考文献：
　　[1]曹海燕．初中数学课堂“问题探索”教学模式研究[J]．新课程（中学），2017（10）.
　　[2]王文俊．初中数学概念教学的一般策略——以“二次函数概念”教学设计为例[J]．上海中学数学，2017（Z2）.